Développement Limité : Définition et Calculs Expliqués

Vous avez du mal à comprendre ce qu’est un développement limité ? Vous cherchez les formules à connaître et comment les utiliser pour calculer des limites ? C’est un concept clé en maths, et il est plus simple qu’il n’y paraît.

Cet article vous donne tout ce qu’il faut : la définition claire, le formulaire des développements usuels à mémoriser, et des exemples concrets pour maîtriser le calcul d’un développement limité et ses applications, comme la levée de formes indéterminées.

Formulaire des Développements Limités Usuels (en 0)

Voici les développements limités fondamentaux à connaître. Ils servent de base pour la plupart des calculs. Apprendre ce formulaire est la première étape pour gagner du temps dans les exercices.

Qu’est-ce qu’un Développement Limité ? Définition Formelle

Un développement limité (DL) est une manière d’approcher une fonction compliquée par un polynôme simple. Cette approximation n’est valable qu’au voisinage d’un point précis, souvent le point 0. L’idée est que si on zoome assez près de ce point, la courbe de la fonction ressemble beaucoup à celle du polynôme.

Mathématiquement, on dit qu’une fonction f admet un développement limité d’ordre n au voisinage d’un point ‘a’ s’il existe un polynôme P_n de degré inférieur ou égal à n et une fonction ε telle que :
f(x) = Pn(x - a) + (x - a)nε(x - a), avec la limite de ε(u) qui tend vers 0 quand u tend vers 0.

On écrit plus simplement cette formule avec la notation de Landau « petit o » :
f(x) = c0 + c1(x-a) + c2(x-a)2 + ... + cn(x-a)n + o((x-a)n)

Dans cette formule, il y a deux parties importantes :

• La partie régulière : c’est le polynôme Pn(x-a), qui est la meilleure approximation polynomiale de f à l’ordre n au point ‘a’.
• Le reste : c’est le terme o((x-a)n). Il représente l’erreur commise en remplaçant la fonction par le polynôme. Ce terme devient très petit, beaucoup plus vite que (x-a)n, quand x se rapproche de ‘a’.

Un point essentiel est que si un développement limité existe pour une fonction en un point donné, alors il est totalement unique. Il n’y a pas deux polynômes différents qui peuvent approximer la même fonction au même ordre et au même point. C’est ce qui rend cet outil fiable.

Comment Calculer un Développement Limité : La Formule de Taylor-Young

La méthode principale pour trouver un développement limité est la formule de Taylor-Young. C’est la recette théorique qui permet de calculer les coefficients du polynôme. Attention, pour l’utiliser, il y a une condition : la fonction doit être suffisamment « lisse », c’est-à-dire qu’elle doit pouvoir être dérivée plusieurs fois.

Pour être précis, une fonction f doit être de classe Cⁿ au voisinage du point ‘a’. Ça veut dire que ses dérivées successives, de la première jusqu’à la n-ième (f’, f », f »’, …, f⁽ⁿ⁾), existent et sont continues autour de ‘a’. Si cette condition est respectée, on peut appliquer la formule.

Le cas le plus courant est le développement au voisinage de 0. La formule de Taylor-Young (aussi appelée formule de Maclaurin) devient alors :

f(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2!)x2 + ... + (f(n)(0)/n!)xn + o(xn)

Prenons un exemple simple pour voir comment ça marche. On va calculer le DL de f(x) = ex en 0 à l’ordre 3.

• Étape 1 : Calculer les dérivées. La fonction exponentielle est simple : sa dérivée est elle-même.
  • f(x) = e^x
  • f'(x) = e^x
  • f »(x) = e^x
  • f »'(x) = e^x
• Étape 2 : Évaluer les dérivées en 0.
  • f(0) = e⁰ = 1
  • f'(0) = e⁰ = 1
  • f »(0) = e⁰ = 1
  • f »'(0) = e⁰ = 1
• Étape 3 : Appliquer la formule.
  • ex = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2!)x2 + (f'''(0)/3!)x3 + o(x3)
  • ex = 1 + 1*x + (1/2)x2 + (1/6)x3 + o(x3)

On retrouve bien le début de la formule du formulaire. Heureusement, dans la pratique, on utilise rarement la formule de Taylor directement. On se sert surtout des formules usuelles et des opérations pour aller plus vite.

Les Opérations sur les Développements Limités

La vraie puissance des développements limités vient du fait qu’on peut les combiner. Au lieu de recalculer les dérivées à chaque fois avec la formule de Taylor, on peut additionner, multiplier ou composer les DL des fonctions usuelles (celles du formulaire) pour trouver le DL d’une fonction plus complexe. La règle d’or est de toujours travailler à un ordre n fixé.

Somme et produit par un scalaire

C’est l’opération la plus simple. Pour trouver le DL d’une somme de deux fonctions (f+g), il suffit d’additionner leurs DL respectifs. De même, pour multiplier une fonction par un nombre (k*f), on multiplie son DL par ce nombre.

Exemple : Trouver le DL de h(x) = 2ex + 3sin(x) à l’ordre 2 en 0.

• DL de e^x : 1 + x + x2/2 + o(x2)
• DL de sin(x) : x + o(x2) (on s’arrête à l’ordre 2)
• DL de h(x) = 2 * (1 + x + x2/2 + o(x2)) + 3 * (x + o(x2))
• DL de h(x) = 2 + 2x + x2 + 3x + o(x2)
• DL de h(x) = 2 + 5x + x2 + o(x2)

Produit de deux fonctions

Pour faire le produit de deux fonctions (f*g), on multiplie leurs parties polynomiales comme on le ferait avec n’importe quels polynômes. La seule astuce est de ne garder que les termes de degré inférieur ou égal à n. Tous les termes de degré supérieur à n sont « absorbés » dans le reste o(xⁿ). C’est ce qu’on appelle tronquer le polynôme.

Exemple : Trouver le DL de h(x) = ex * cos(x) à l’ordre 2 en 0.

• DL de e^x : 1 + x + x2/2 + o(x2)
• DL de cos(x) : 1 - x2/2 + o(x2)
• DL de h(x) = (1 + x + x2/2) * (1 - x2/2) + o(x²)
• On développe : 1*(1 - x2/2) + x*(1 - x2/2) + (x2/2)*(1 - x2/2)
• = 1 - x2/2 + x - x3/2 + x2/2 - x4/4
• On ne garde que les termes jusqu’à x² : 1 + x
• Le résultat est donc : 1 + x + o(x2)

Ces calculs de DL sont si fondamentaux qu’on les retrouve même dans des logiques de traitement de données, comme l’analyse de fichiers où des marqueurs techniques `endstream endobj obj` ou `stream endstream endobj obj` peuvent apparaître dans un `pdf obj` pour structurer le contenu. L’idée est la même : on manipule des structures (`tronqué mots limites api`) pour obtenir un résultat précis.

Composition de fonctions

La composition f(g(x)) est un peu plus délicate. On prend le DL de la fonction extérieure f(u), et on remplace u par le DL de la fonction intérieure g(x). Il faut faire attention à deux choses : le DL de g(x) doit être en 0, et on doit aussi tronquer le résultat final à l’ordre n.

Exemple : Trouver le DL de h(x) = esin(x) à l’ordre 3 en 0.

• On pose u = sin(x). Quand x tend vers 0, u tend aussi vers 0.
• DL de e^u en 0 : 1 + u + u2/2 + u3/6 + o(u3)
• DL de u = sin(x) en 0 : x - x3/6 + o(x3)
• On remplace u par son DL dans le DL de e^u :
• h(x) = 1 + (x - x3/6) + (x - x3/6)2/2 + (x - x3/6)3/6 + o(x3)
• On développe et on garde les termes jusqu’à l’ordre 3 :
  • (x - x3/6)2 = x2 + ... (les autres termes sont d’ordre > 3)
  • (x - x3/6)3 = x3 + ...
• h(x) = 1 + x - x3/6 + x2/2 + x3/6 + o(x3)
• En simplifiant, on obtient : 1 + x + x2/2 + o(x3)

Intégration

Si on connaît le DL d’une fonction f’, on peut trouver celui de sa primitive F en intégrant terme à terme la partie polynomiale du DL de f’. L’intégration fait monter l’ordre de 1. On trouve donc un DL à l’ordre n+1 pour F à partir d’un DL à l’ordre n pour f’. Il ne faut pas oublier d’ajouter la constante d’intégration, qui est F(0).

Exemple : Trouver le DL de F(x) = arctan(x) à l’ordre 5, sachant que F'(x) = 1/(1+x²).

• On connaît le DL de 1/(1-u) = 1 + u + u2 + o(u2).
• On pose u = -x². Le DL de 1/(1+x2) à l’ordre 4 est : 1 - x2 + x4 + o(x4).
• On intègre ce DL : ∫(1 - t2 + t4) dt = t - t3/3 + t5/5
• Le DL de arctan(x) est donc arctan(0) + x - x3/3 + x5/5 + o(x5).
• Comme arctan(0) = 0, on a : x - x3/3 + x5/5 + o(x5).

À Quoi Ça Sert ? Applications Principales

Les développements limités ne sont pas qu’un exercice de style mathématique. C’est un outil très puissant pour résoudre des problèmes concrets, en particulier pour l’étude locale de fonctions.

Calcul de limites

C’est l’application la plus fréquente. Quand on tombe sur une forme indéterminée comme « 0/0 » ou « ∞-∞ », les développements limités permettent souvent de débloquer la situation. L’idée est de remplacer les fonctions au numérateur et au dénominateur par leur approximation polynomiale pour simplifier l’expression.

Exemple : Calculer la limite en 0 de (ex - 1 - x) / x2.

• En 0, on a (1 – 1 – 0) / 0, soit la forme indéterminée « 0/0 ».
• On utilise le développement limité ordre 2 de e^x au numérateur : ex = 1 + x + x2/2 + o(x2).
• On remplace : (1 + x + x2/2 + o(x2) - 1 - x) / x2.
• On simplifie le numérateur : (x2/2 + o(x2)) / x2.
• On peut séparer la fraction : x2/(2x2) + o(x2)/x2.
• Le résultat est 1/2 + o(1). Le terme o(1) tend vers 0 quand x tend vers 0.
• La limite est donc 1/2.

Recherche d’équivalents

Le premier terme non nul du développement limité d’une fonction en un point donne un équivalent simple de cette fonction au voisinage de ce point. Un équivalent est une fonction plus simple qui se comporte de la même manière. C’est très utile pour étudier le comportement d’une fonction sans se trimballer toute l’expression.

• Le DL de sin(x) en 0 est x - x3/6 + .... Le premier terme non nul est x. Donc, sin(x) est équivalent à x en 0.
• Le DL de cos(x) - 1 en 0 est (1 - x2/2 + ...) - 1 = -x2/2 + .... Le premier terme non nul est -x2/2. Donc, cos(x) - 1 est équivalent à -x2/2 en 0.

Position d’une courbe par rapport à sa tangente

Le développement limité à l’ordre 2 en un point ‘a’ donne des informations sur la géométrie locale de la courbe. L’équation de la tangente en ‘a’ est donnée par le DL à l’ordre 1 : y = f(a) + f'(a)(x-a).

Le terme suivant du DL, celui en (x-a)2, nous dit comment la courbe se situe par rapport à cette tangente.

• Le DL à l’ordre 2 est : f(x) = [f(a) + f'(a)(x-a)] + (f''(a)/2!)(x-a)2 + o((x-a)2).
• La différence f(x) - ytangente est donc du signe de f''(a)(x-a)2.
• Si f »(a) > 0, la différence est positive, et la courbe est au-dessus de sa tangente (convexe).
• Si f »(a) < 0, la différence est négative, et la courbe est en dessous de sa tangente (concave).

FAQ – Questions Fréquentes sur les Développements Limités

Quelle est la différence entre un développement limité et une série de Taylor ?

C’est une confusion fréquente. Un développement limité est un polynôme fini plus un reste, et il n’est valable que localement, au voisinage d’un point. Une série de Taylor est une somme infinie de termes qui, si elle converge, peut représenter la fonction sur tout un intervalle. En bref : le DL est une approximation locale finie, la série de Taylor est une représentation globale (potentiellement) infinie.

Comment choisir le bon ordre pour un développement limité ?

Le choix de l’ordre n dépend du problème. Pour un calcul de limite, il faut aller à un ordre suffisant pour que le numérateur et le dénominateur ne s’annulent pas complètement. La règle est de développer jusqu’à obtenir le premier terme non nul. Si après simplification, vous trouvez encore 0/0, c’est que l’ordre n’était pas assez élevé. Il faut recommencer avec un ordre supérieur.

Peut-on dériver un développement limité ?

En général, non, on ne peut pas dériver un développement limité pour obtenir celui de la dérivée. L’opération de dérivation n’est pas compatible avec le reste « o(xⁿ) ». Par contre, l’opération inverse, l’intégration, fonctionne parfaitement comme nous l’avons vu. Pour trouver le DL d’une dérivée f’, il faut soit utiliser la formule de Taylor, soit repartir des DL usuels des fonctions qui composent f’.

David

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